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--第i级杆所对应的弹性模量,Pa;

Ari--第i级杆所对应的面积,m2;

Δxi--第i级杆所对应的步长,m;

Δt--时间方向上的步长,s。

诊断模型的有限差分解的时间步长应满足

(3-18)

对于多级抽油杆必须满足下式,才能满足使式(3-17)解的稳定。

(i=1...M抽油杆级数) (3-19)

对于诊断模型,时间步长Δt的选取,在满足解收敛的条件下,Δt越小,精度越高,计算时间越长。

3.2.3 诊断模型的求解

诊断技术是准确了解有杆抽油系统工作状况的有效方法,将抽油系统工作实

际测得的示功图进行离散处理,通过描述抽油杆振动的微分方程的边界条件和初始条件,计算各级杆端的应力和位移,绘制井下示功图。对于多级杆柱,以光杆位移作为第一层边界条件,以光杆位移和载荷计算出第二层位移作为第二层位移边界条件,以此类推采用补格法计算全部节点可求得各级杆柱断面和泵处示功图。

求解诊断数学模型的关键问题是对描述抽油杆动力学特征的波动方程进行求解,根据式(3-13)可知,诊断模型的波动方程求解可以用图(3-2)~(3-4)表示。

 图3-2 有限差分格式 图3-3 波动方程的差分三角形

(1)i=0,第一层(即地面值)位移由位移传感器测得:

  (3-20)

(2)i=1,第二层可由载荷传感所测得的载荷和地面位移,根据虎克定律获得。

(3-21)

(3),从第三层起,就得用差分方程计算各节点的位移。但是在用差分方程计算各层的第一个节点位移时,是不存在的。另外,在计算每一层最后一个节点位移时,也是不存在的,原因是由于。例如,要计算需要知道,而它是不存在的,要计算,需要知道,它也是不存在的。为了解决这个问题,根据周期函数特点,可补充下列关系:;,这实际上是波动方程的两个初始条件,这样,就可以通过补格的办法求出全部未知点的位移。

利用差分法求解时,一个很重要的问题就是解的稳定性。差分格式的计算是逐层进行的,计算时,要用到上两层计算出来的结果,因此,计算误差必然会影响到的值,从而就要分析这种误差传播情况,如果误差的影响越来越大,以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖,那么这种差分格式称为不稳定的。相反,如果误差的影响是可以控制的,差分格式的解基本上能计算出来,那么,这种差分格式就认为是稳定的。

根据对诊断数学模型的波动方程的差分求解,其差分格式和波动方程的求解图示为

图3-4 波动方程补格求解示意图

3.3 节点载荷及位移计算

抽油杆柱在垂直井的载荷由动载荷和静载荷两部分组成[1]。

(1) 动载荷

任意节点i在j时刻的动载荷以Fij表示

  (3-22)

对于悬点载荷(光杆载荷)F0j,结合虎克定律采用牛顿前插公式。

  (3-23)

对于泵载荷FN,j,结合虎克定律采用牛顿后插公式

  (3-24)

(2)静载荷

在上冲程时,杆柱i点的静载荷应该等于i+1静载荷加上两节点之间的杆柱在空气中的重力,若对于多级组合杆,中间有截面变化,则还要减去截面变化处液体压力乘上横截面积之差。在泵处,上冲程时固定固定凡尔打开,游动凡尔关闭,其静载荷为

(3-25)

式中 p0--泵排出压力,Pa;

Pi--泵吸入压力,Pa。

在下冲程时,固定凡尔关闭,游动凡尔打开,其静载荷为

(3-26)

(3) 节点位移

在垂直井中抽油杆柱任意节点的总位移等于节点位移加上由于自重产生的静变形,减去由于浮力使得杆柱的缩短。

设第i级杆的浮重为

(3-27)

式中 Wrbi--第i级杆在空气中的重力,N;

Wri--第i级杆在井液中的重力,N;

ρr--抽油杆密度,kg/m3;

ρf--井液密度,kg/m3。

则长度为li的第i级杆,由于浮重产生的静伸长量δsi:

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(3-28)

第i级杆下端的静位移usi为

(3-29)

泵处的静位移usp为

(3-30)

在任意时刻j节点i的总位移是动位移和静位移两部分之和,即:

(3-31)

3.4 阻尼系数的确定

抽油机井筒内的阻尼力主要有抽油杆柱、接箍与液体之间的粘滞力、杆柱及接箍与油管之间的非粘滞性摩擦力;光杆与盘根之间的摩擦力;泵柱塞与泵筒之间的摩擦损失,泵阀和阀座内孔的流体压力损失等。现计算粘滞阻尼系数的公式较多,本文采用张琪基于等摩擦功原理推导出的粘滞阻尼系数计算公式[7]。

(3-32)

其中

式中 Dr --抽油杆直径,m;

 Dt--油管内径,m;

 μ--液体动力粘度,Pa.s;

 ρr--抽油杆密度,kg/m3;

 Ar--抽油杆截面积,m2;

 L--抽油杆长度,m。

对于混合杆阻尼系数,采用变步长有限差分,求出每一级杆的阻尼系数,或者采用求混合杆的平均阻尼系数。本文采用平均阻尼系数法。

3.4.1 多级杆阻尼系数的计算

 对于多级组合抽油杆柱,由于各级抽油杆直径不同,杆管的环形截面积不

同,同样长度的各级杆在一个循环中的粘滞摩擦功也不同。因此,需要分级进行计算,多级杆中每级杆柱阻尼系数的计算公式可写为[15]

(3-33)

式中,i为自上而下抽油杆柱的级数,i=1,2,...,n;Li为第i级杆的下部深度,m;L为泵深,m。

在计算式(3-27)中积分时,把多级杆近似地按单级杆处理,则

(3-34)

(3-35)

把式(3-28)和式(3-29)代入式(3-27),积分后得:

(3-36)

式中

第四章 计算机诊断技术的应用

通过计算机对诊断数学模型进行数值求解,可以获得泵示功图。泵功图主要用来诊断井下泵工作状况 [8]。

4.1 井下抽油泵工况分析

计算得到井下泵功图,通过其形状分析,可以判断泵是否工作正常以及不正常原因[8],典型的泵理论示功图如图4-1所示:

图4-1典型情况下的泵理论示功图

图中横坐标为位移,纵坐标为载荷。图4-1a是表示在油管锚定的条件下,泵完全充满液体,无气体影响,游动阀和固定阀工作良好。图4-1b是无油管锚条件下,泵工作良好的泵示功图。图4-1c~f依次表示泵受气体影响、充不满、排出部分漏失和吸入部分漏失情况下的泵示功图。

4.2 示功图故障分类

抽油机井的计算机诊断是通过载荷传感器和位移传感器在地面测得不同时间光杆载荷和位移的变化关系(地面示功图),然后利用数学方法借助于计算机来求得各级抽油杆柱截面和泵上的载荷及位移(泵功图),从而绘出井下示功图,然后诊断油井故障。本文在详细

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